\subsection{位似形}\label{subsec:czjh2-6-11}
\begin{enhancedline}

\begin{wrapfigure}[6]{r}{5cm}
    \centering
    \input{../pic/czjh2-ch6-39}
    \caption{}\label{fig:czjh2-6-39}
\end{wrapfigure}

现在，我们来研究相似形的一种特殊情形。

如图 \ref{fig:czjh2-6-39}， $O$ 是四边形 $ABCD$ 内的任一点， $A'$、$B'$、$C'$、$D'$ 分别是 $OA$、$OB$、$OC$、$OD$ 上的点。

$\dfrac{OA'}{OA} = \dfrac{OB'}{OB} = \dfrac{OC'}{OC} = \dfrac{OD'}{OD} = \exdfrac{2}{3}$。

可以证明四边形 $A'B'C'D' \xiangsi$ 四边形 $ABCD$， 并且相似比为 $\exdfrac{2}{3}$。

$\dfrac{OA'}{OA} = \dfrac{OB'}{OB} = \dfrac{OC'}{OC}$

\qquad $\tuichu \left\{\begin{aligned}
    A'B' \pingxing AB \tuichu \left\{\begin{aligned}
            \dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{OB'}{OB} = \exdfrac{2}{3} \\
            \angle OB'A' = \angle OBA
        \end{aligned}\right. \\
    B'C' \pingxing BC \tuichu \left\{\begin{aligned}
        \dfrac{B'C'}{BC} = \dfrac{OB'}{OB} = \exdfrac{2}{3} \\
        \angle OB'C' = \angle OBC
    \end{aligned}\right.
\end{aligned}\right\}$

\qquad $\tuichu \left\{\begin{aligned}
    \dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{B'C'}{BC} = \exdfrac{2}{3} \douhao \\
    \angle A'B'C' = \angle ABC \juhao
\end{aligned}\right.$

同理可得 $\dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{B'C'}{BC} = \dfrac{C'D'}{CD} = \dfrac{D'A'}{DA} = \exdfrac{2}{3}$，
$\angle B'C'D' = \angle BCD$， $\angle C'D'A' = \angle CDA$， $\angle D'A'B' = \angle DAB$。

$\therefore$ \quad $\text{四边形} \; A'B'C'D' \xiangsi \text{四边形} \; ABCD$， 相似比为 $\exdfrac{2}{3}$。

由此看出，在四边形 $ABCD$ 和四边形 $A'B'C'D'$ 中，如果有：
（1）对应顶点 $A'$ 和 $A$， $B'$ 和 $B$， $C'$ 和 $C$， $D'$ 和 $D$ 的连线都经过同一点 $O$；
（2）$\dfrac{OA'}{OA} = \dfrac{OB'}{OB} = \dfrac{OC'}{OC} = \dfrac{OD'}{OD} = \exdfrac{2}{3}$，
那么四边形 $A'B'C'D'$ 和四边形 $ABCD$ 相似，相似比等于 $\exdfrac{2}{3}$，
这样的两个四边形有特殊的位置关系。

如果一个图形上的点 $A'$、$B'$、$\cdots$、$P'$ 和另一个图形上的点 $A$、$B$、$\cdots$、$P$ 分别对应，并且

（1）直线 $A'A$、$B'B$、$\cdots$、$P'P$ 都经过同一点 $O$；

（2）$\dfrac{OA'}{OA} = \dfrac{OB'}{OB} = \cdots = \dfrac{OP'}{OP} = k$，\\
那么这两个图形叫做\zhongdian{位似图形}，点 $O$ 叫做\zhongdian{位似中心}。

位似图形不仅形状相同，而且有特殊的位置关系。

对于两个多边形来说，只要它们的对应顶点 $A'$、$B'$、$\cdots$、$P'$ 和 $A$、$B$、$\cdots$、$P$ 有
上面的 （1）、（2） 两个关系，这两个多边形就是位似多边形。
如图 \ref{fig:czjh2-6-39} 中的四边形 $A'B'C'D'$ 和四边形 $ABCD$ 是位似四边形。

用类似的方法，可以证明（由同学自己证明）：

\begin{xingzhi}
    两个位似多边形一定相似，它们的相似比等于对应顶点与位似中心的距离的比，它们的各对对应边分别平行。
\end{xingzhi}

两个位似图形的各对对应点可以全部都在位似中心的同旁，这时这两个位似图形叫做相互\zhongdian{外位似}，位似中心叫做\zhongdian{外位似中心}；
也可以全部都在位似中心的两旁，这时这两个位似图形叫做相互\zhongdian{内位似}，位似中心叫做\zhongdian{内位似中心}。
例如，图 \ref{fig:czjh2-6-40} 中，五边形 $A'B'C'D'E'$ 和五边形 $ABCDE$ 相互外位似，点 $O$ 为外位似中心。
图 \ref{fig:czjh2-6-41} 中，五边形 $A'B'C'D'E'$ 和五边形 $ABCDE$ 相互内位似，点 $O$ 为内位似中心。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch6-40}
        \caption{}\label{fig:czjh2-6-40}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch6-41}
        \caption{}\label{fig:czjh2-6-41}
    \end{minipage}
\end{figure}

\liti[0] 已知：锐角三角形 $ABC$（图 \ref{fig:czjh2-6-42}）。

求作：矩形 $DEFG$， 使 $DE$ 在边 $BC$ 上，点 $G$ 和 $F$ 分别在边 $AB$ 和 $AC$ 上，且 $DE:GD = 2:1$。

\zuofa  1. 在 $AB$ 上任取一点 $G_1$， 作  $G_1D_1 \perp BC$，垂足为 $D_1$。

2. 在 $D_1C$ （或其延长线）上取一点 $E_1$，使 $D_1E_1 = 2 G_1D_1$。

3. 以 $G_1D_1$、$D_1E_1$ 为邻边作矩形 $D_1E_1F_1G_1$。

4. 作射线 $BF_1$， 交 $AC$ 于点 $F$。

5. 作 $FE \pingxing F_1E_1$， 交 $BC$ 于点 $E$；
   作 $FG \pingxing F_1G_1$， 交 $AB$ 于点 $G$；
   作 $GD \pingxing G_1D_1$， 交 $BC$ 于点 $D$。

四边形 $DEFG$ 就是所求的矩形。

\zhengming 由作法知， $DE$ 在 $BC$上， 点 $G$、$F$ 分别在 $AB$、$AC$ 上。

又 $DD_1$、$EE_1$、$FF_1$、$GG_1$ 相交于点 $B$，且
$$ \dfrac{BE}{BE_1} = \dfrac{BF}{BF_1} = \dfrac{BG}{BG_1} = \dfrac{BD}{BD_1} \douhao $$

$\therefore$ \quad 四边形 $DEFG$ 和四边形 $D_1E_1F_1G_1$ 位似。

$\therefore$ \quad 四边形 $D_1E_1F_1G_1$ 是矩形，且
$$ D_1E_1:G_1D_1 = 2:1 \douhao $$

$\therefore$ \quad 四边形 $DEFG$ 是矩形，且 $DE:GD = 2:1$。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch6-42}
        \caption{}\label{fig:czjh2-6-42}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \includegraphics[width=5cm]{../pic/czjh2-ch6-43.png}
        \caption{}\label{fig:czjh2-6-43}
    \end{minipage}
\end{figure}


实际画图使用的一种工具——放缩尺，就是根据已知图形作出它的位似图形的道理制成的。
应用它可以按指定的比把各种图形进行放大或缩小。如图 \ref{fig:czjh2-6-43}，
把钻有若干小孔的四条直尺用螺栓分别在点 $A$、$B$、$C$、$D$ 连接起来，
使直尺可以绕着这些点转动，并使
$$ OD = DA = CB \douhao DC = AB = BA' \juhao $$

根据以上构造可知：不论直尺如何转动，四边形 $ABCD$ 总是平行四边形，
而 $\triangle ODA$ 和 $\triangle OCA'$ 都是等腰三角形，并且
\begin{gather*}
    \angle ODA = \angle OCA' \douhao \\
    \angle ODA = \exdfrac{1}{2} (180^\circ - \angle ODA) = \exdfrac{1}{2} (180^\circ - \angle OCA') = \angle COA' \juhao
\end{gather*}

从而得点 $O$、$A$、$A'$ 在同一直线上。
$$ \dfrac{OA'}{OA} = \dfrac{OC}{OD} = k \text{， 或} \quad \dfrac{OA}{OA'} = \dfrac{OD}{OC} = \exdfrac{1}{k} \juhao $$
于是，当点 $O$ 的位置固定时，不论各尺如何转动，
点 $A'$ 和 $A$ 都是以点 $O$ 为外位似中心，以 $k$ 为相似比的外位似图形的对应点，
点 $A$ 和 $A'$ 都是以   $O$ 为外位似中心，以 $\exdfrac{1}{k}$ 为相似比的外位似图形的对应点。

当我们放大某一给定图形时，将这个图形固定在点 $A$ 处的下方，在尺上的点 $A$ 处装上尖针；
将空白的图纸固定在点 $A'$ 处的下方，在尺上的点 $A'$ 处装上画图笔。
当尺上的尖针 $A$ 沿所给的图形移动时，尺上点 $A'$ 处的画图笔尖就可以在空白图纸上画出
把所给图形放大成原来的 $\dfrac{OC}{OD}$ 倍的图形。

交换上述的尖针与画笔的位置，也交换所给图形与空白图纸的位置，
就可以画出把所给图形缩小成原来的 $\dfrac{OD}{OC}$ 的图形。

改变螺栓所在的小孔 $B$ 和 $D$，可以调整放大或缩小的比。


\begin{lianxi}

\xiaoti{作一个四边形 $A'B'C'D'$ 和已知四边形 $ABCD$ 外位似，相似比 $k = \exdfrac{3}{4}$，
    外位似中心取在（1）$ABCD$ 的外部； （2） $ABCD$ 的一条边上； （3）$ABCD$ 的一个顶点。
}

\xiaoti{作一个四边形 $A'B'C'D'$ 和已知四边形 $ABCD$ 内位似，相似比 $k = \exdfrac{3}{4}$，
    內位似中心取在 $ABCD$ 的 （1）外部； （2）内部。
}

\end{lianxi}
\end{enhancedline}

